
\prob{0088}{平方数倒数和}

证明：对于所有正整数$n$，有
\[ 1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \dots + \frac1{n^2} < 2 \]
成立。
\problabels{yellow/代数, green/证明题}

\subsection{一般化}

试证明其一般化命题：对于所有正整数$n$，有
\[ 1 + \frac1{2^2} + \frac1{3^2} + \frac1{4^2} + \dots + \frac1{n^2} \le 2 - \frac1n \]
成立。

将左边记为$f(n)$，对$n$进行归纳。

当$n = 1$时，显然有$f(n) = 1 \le 2 - 1 = 1$；当$n > 1$时，假设$f(n - 1) \le 2 - 1/(n - 1)$，即要证明$f(n) \le 2 - 1/n$。注意到
\begin{align*}
  f(n) &= f(n - 1) + \frac1{n^2} \\
  &\le 2 - \frac1{n - 1} + \frac1{n^2} \\
  &\le 2 - \frac1{n - 1} + \frac1{n(n - 1)} \\
  &= 2 - \frac1n
\end{align*}
于是有$f(n) \le 2 - 1/n$成立。该命题是原命题更严格的情况，于是原命题得证。
